Equations différentielles

Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre dont la démonstration de la recherche de la solution a déjà été largement abordée en cours. On peut la réécrire avec une approche de physicien sous la forme $\frac23y'+y=0$

Soit : $\tau y'+y=0$ dont la solution de l'homogène associée s'écrit $y(x)=A.e^{-x/\tau}$

Ici on a donc : $y(x)=A.e^{-\frac32 x}$

En exploitant la condition initiale $y(0)=3$, il vient $y(0)=A=3$.

D'où la solution : $\boxed{y(x)=3e^{-\frac32 x}}$

L'équation homogène associée s'écrit $y'-5y=0$.

La solution est connue et s'écrit : $y(x)=A.e^{-(-5)x}$ soit $y(x)=A.e^{5x}$.

L'équation différentielle est de la forme $\alpha y'+\beta y = P(x)$ où $P(x)$ est un polynôme du premier ordre.

Ici, $\beta \ne 0$ donc la solution particulière est un polynôme $Q(x)$ de même degré que $P(x)$.

Soit $y(x)=Q(x)=a.x+b$ la solution particulière. On a alors $y'(x)=a$.

En remplaçant dans l'équation complète, il vient : $a-5(ax+b)=-1+4x$ ou encore $-5ax+a-5b=4x-1$

En identifiant suivant les puissances croissantes de $x$, il vient le système suivant :

$\begin{cases} -5a & =4 \\ a-5b & = -1 \end{cases}$

dont la résolution conduit immédiatement à trouver $a=-\frac45$ et $b=\frac1{25}$

Soit la solution complète suivant : $\boxed{y(x)=Ae^{5x}-\frac45x+\frac1{25} \, \, \text{avec A} \in \mathbb{R}}$

Il s'agit de résoudre :

\begin{equation} 2y'+y=2sin(2x) \label{exo3} \end{equation}

Résultat connu : \begin{equation} y(x)=Ae^{-x/2} \label{exo3_h} \end{equation}

Le second membre de $\eqref{exo3}$ est de nature trigonométrique. On cherche donc une solution particulière de la forme $y_p(x)=Kcos(2x)+Lsin(2x)$, soit : $y_p'(x)=-2Ksin(2x)+2Lcos(2x)$

En remplaçant $y_p$ et $y_p'$ dans $\eqref{exo3}$, il vient :

\begin{equation} -4Ksin(2x) + 4Lcos(2x)+Kcos(2x)+Lsin(2x)=2sin(2x) \label{exo3_1} \end{equation}

Par identification des termes en $cos(2x)$ et en $sin(2x)$, on fait apparaître :

\begin{equation} -4K+L=2 \label{exo3_2} \end{equation}

et

\begin{equation} 4L+K=0 \label{exo3_3} \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow K=-4L \label{exo3_4} \end{equation}

$\eqref{exo3_2}$ et $\eqref{exo3_4}$ \begin{equation} \Rightarrow 16L+L=2 \Leftrightarrow L=\frac2{17} \label{exo3_5} \end{equation}

Pour finir, $\eqref{exo3_4}$ et $\eqref{exo3_5} \Rightarrow K=-\frac8{17}$

d'où la solution particulière :

\begin{equation} y_p(x)=-\frac8{17}cos(2x)+\frac2{17}sin(2x) \label{exo3_p}\end{equation}

\begin{equation} \boxed{ y(x)=Ae^{-x/2}-\frac8{17}cos(2x)+\frac2{17}sin(2x) \, \text{avec A} \, \in \mathbb{R}} \end{equation}

Il s'agit de résoudre une équation différentielle de la forme :

\begin{equation} y'(x)=a(x).y(x)+b(x) \label{exo4_1} \end{equation}

où $a(x)=-sin(x)$ et $b(x)=x.e^{cos(x)}$

Il faut donc chercher une solution de $\eqref{exo4_1}$ qui soit de la forme :

\begin{equation} y(x)=C(x).e^{A(x)} \label{exo4_2} \end{equation}

où $A(x)$ est une primitive de $a(x)$.

La dérivée de $\eqref{exo4_2}$ donne :

\begin{equation} y'(x) =C(x).a(x).e^{A(x)}+C'(x).e^{A(x)} \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow y'(x)=C(x).y(x)+C'(x).e^{A(x)} \label{exo4_3} \end{equation}

Pour que $y$ satisfasse à $\eqref{exo4_1}$, il faut $b(x)=C'(x).e^{A(x)}$, soit :

\begin{equation} C'(x)=b(x).e^{-A(x)} \label{exo4_4} \end{equation}

En remplaçant $b(x)$ dans $\eqref{exo4_4}$, il vient $C'(x)=x.e^{-A(x)}.e^{A(x)}=x$

qui s'intègre aisément :

\begin{equation} C(x)=\frac{x^2}2 + C_0 \text{ avec } C_0 \in \mathbb{R} \label{exo4_5} \end{equation}

D'où la solution finale :

\begin{equation} \boxed{ y(x)=\left ( \frac{x^2}2 + C_0 \right ) .e^{cos(x)} \text{ avec } C_0 \in \mathbb{R} } \label{exo4_6} \end{equation}

A noter que la constante d'intégration $C_0$ correspond à une solution particulière de $ \eqref{exo4_1}$.