Correcteur à avance de phase

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Exercice en cours de rédaction donc incomplet à ce jour.

Cet exercice propose l'étude d'un correcteur à avance de phase réalisé de façon passive. Cette structure était utilisée pour assurer la stabilité dans des boucles d'asservissement linéaires mais son usage est aujourd'hui pratiquement révolu avec l'émergence des asservissements numériques.

En voici le schéma :

correcteur avance phase

1. Etude générale

On s'intéresse au comportement en fréquence de ce circuit.

1.1. Ecrire la fonction de transfert

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 2 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 2 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(H(p)=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    Pour être totalement exploitable, la fonction de transfert doit être écrite en faisant apparaître les produits élémentaires vus dans le cours et donc dans le cas présent sous la forme $H(p)=K \cdot \frac{1+p \mathop{/} \omega_1}{1+p \mathop{/} \omega_2}$.

    1.2. Dans ces conditions, donner :

    1.2.1. L'expression définissant K

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(K=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    1.2.2. Celle de $\omega_1$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(\omega_1=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    1.2.3. Celle de $\omega_2$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
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  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(\omega_2=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    A partir de maintenant, sauf précision explicite, on ne travaille plus qu'avec les paramètres généraux $\omega_1$, $\omega_2$ et $K$. On considère également la transmittance complexe du circuit notée $T(j\omega)=K \cdot \frac{1+j\omega \mathop{/} \omega_1}{1+j\omega \mathop{/} \omega_2}$

    1.3. Donner un équivalent de $T(j\omega)$ :

    1.3.1. Lorsque $\omega \rightarrow 0$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :




    \(T(j \omega)\underset{0}{\sim}\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    1.3.2. Lorsque $\omega \rightarrow + \infty$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :




    \(T(j\omega)\underset{+\infty}{\sim}\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    1.4. Diagramme de Bode asymptotique

    Choisir le bon diagramme parmi la liste proposée :

  • Valider vos choix
  • Tout effacer
  • 0 ptsPoint(s) obtenu(s)
    • Bonne réponse : 1 pt(s). Mauvaise réponse : -1 pt(s). Pas de réponse : 0 pt

    Correction

    Le graphique ci-dessous aide à comprendre comment se comporte ce circuit. Vous pouvez utiliser la règle de réglage pour faire varier la valeur de $\omega_1$. $\omega_2$ est automatiquement recalculée pour que la valeur de $\omega_0$ reste inchangée.

     

    $\omega_1=\,$121000
    $\varphi(\omega)$ avec $\omega_1$ et $\omega_2$ variables et $\omega_0$ fixée
     

    1.5. Donner l'expression du gain $G(\omega)$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(G(\omega)=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    1.6. Donner l'expression du déphasage $\varphi(\omega)$ introduit par le circuit

    Remarque sur les notations de variables : si vous n'utilisez pas les boutons pour la saisie des équations, sachez que la variable $\varphi$ est notée varphi pour une saisie manuelle. 

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(\varphi(\omega)=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    2. Etude du déphasage $\varphi(\omega)$

    2.1. Recherche du maximum de $\varphi(\omega)$

    Le déphasage $\varphi(\omega)$ varie en fonction de $\omega$. On souhaite montrer qu'il atteint un maximum en $\omega=\omega_0$ que l'on notera $\varphi_{max}=\varphi(\omega_0)$.
    Comment procède-t-on pour trouver $\omega_0$ ?

  • Valider vos choix
  • Tout effacer
  • 0 ptsPoint(s) obtenu(s)
    • Bonne réponse : 1 pt(s). Mauvaise réponse : -1 pt(s). Pas de réponse : 0 pt

    2.2. Donner l'expression de  $\frac{d\varphi(\omega)}{d\omega}$

    On note cette dérivée $\varphi_{derivee}$.

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(\frac{d\varphi(\omega)}{d\omega}=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    2.3. Déterminer $\omega_0$ telle que $\frac{d\varphi(\omega)}{d\omega}=0$ pour $\omega=\omega_0$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 2 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 2 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(\omega_0=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    Note 1 : pour être tout à fait complète, la démonstration nécessiterait de préciser qu'on a bien affaire à un maximum. Le dessin du diagramme asymptotique est suffisant pour étayer cela puisqu'on a pu voir que le déphasage est croissant jusqu'à un certain point ($\omega_0$ donc) puis décroissant ensuite.

    Note 2 : à noter également que le résultat trouvé correspond à la moyenne géométrique de $\omega_1$, $\omega_2$ soit le milieu du segment $[\omega_1,\omega_2]$ sur une échelle logarithmique.

    3. Exploitation

    Dans les applications où on utilise un circuit à avance de phase, on sait précisément à quelle pulsation $\omega_0$ on veut avancer la phase et dans quelle proportion $\varphi_{max}(\omega_0)$. Il faut alors déterminer les composants $R_1, \, R_2, \, C$ pour satisfaire à ces deux conditions.

    Dans un premier temps, cela suppose de déterminer $\omega_1$ et $\omega_2$.

    Dans cette mise en application, on souhaite relever la phase de $30°$, soit $\pi/6$ en rad à la pulsation de $\omega_0=1000\, rad/s$.

    3.1. En utilisant les résultats des expressions de $\varphi(\omega)$ valant $\varphi_{max}$ en $\omega_0$ et de $\omega_0$, déterminer $\omega_2$ en fonction de $\omega_0$ et $\varphi_{max}$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 3 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 3 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(\omega_2=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    Numériquement :

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Saisissez la valeur numérique de votre calcul :

    \(A.N : \omega_2=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    Rappel de trigonométrie : $atan(x)+atan \left ( \frac1x \right ) = \frac{\pi}2$ lorsque $x>0$.

    3.2. En déduire $\omega_1$ en fonction $\varphi_{max}$ et $\omega_0$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Saisissez la valeur numérique de votre calcul :

    \(\omega_1=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    soit numériquement :

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(A.N : \omega_1=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    Correction

    On dispose du système d'équations suivant :

    $$\begin{cases} &\omega_0^2=\omega_1 \cdot \omega_2 \\ &\varphi(\omega_0)=atan(\omega_0 \mathop{/} \omega_1)-atan(\omega_0 \mathop{/} \omega_2)=\varphi_{max} \\ &atan(\omega_0 \mathop{/} \omega_2)+atan(\omega_2 \mathop{/} \omega_0)=\frac{\pi}2 \end{cases}$$

    On fait aisément disparaître $\omega_1$ avec la première équation du système :

    $$\begin{cases} &\omega_1 = \omega_0^2 \mathop{/} \omega_2\\ &atan( \frac{\omega_0} { \omega_0^2 \mathop{/} \omega_2})-atan(\omega_0 \mathop{/} \omega_2)=\varphi_{max} \\ &atan(\omega_0 \mathop{/} \omega_2)+atan(\omega_2 \mathop{/} \omega_0)=\frac{\pi}2 \end{cases}$$

    Soit, en retravaillant également la dernière équation :

    $$\begin{cases} &\omega_1 = \omega_0^2 \mathop{/} \omega_2\\ &atan(  \omega_2 \mathop{/} \omega_0)-atan(\omega_0 \mathop{/} \omega_2)=\varphi_{max} \\ &atan(\omega_0 \mathop{/} \omega_2)=\frac{\pi}2 - atan(\omega_2 \mathop{/} \omega_0) \end{cases}$$

    En remplaçant la dernière équation dans la seconde, il vient :

    $$atan(\omega_2 \mathop{/} \omega_0)- \left [ \frac{\pi}2 - atan(\omega_2 \mathop{/} \omega_0 \right ] = \varphi_{max}$$

    $$\Leftrightarrow 2 \cdot atan \left ( \omega_2 \mathop{/} \omega_0 \right ) = \frac{\pi}2+\varphi_{max}$$

    $$\Leftrightarrow atan \left ( \omega_2 \mathop{/} \omega_0 \right ) = \frac{\pi \mathop{/}2+\varphi_{max}}2$$

    $$\Leftrightarrow \boxed {\omega_2 = \omega_0 \cdot tan \left [ \frac{\pi \mathop{/}2+\varphi_{max}}2 \right ] }$$

    On en déduit immédiatement $\omega_1$ :

    $$\frac{\omega_0^2}{\omega_1} = \omega_0 \cdot tan \left [ \frac{\pi \mathop{/}2+\varphi_{max}}2 \right ] $$

    $$\Leftrightarrow \boxed{ \omega_1 = \omega_0 \mathop{/} tan \left [ \frac{\pi \mathop{/}2+\varphi_{max}}2 \right ] }$$

    3.3. Détermination des composants

    On dispose de deux paramètres : $\omega_1$ et $\omega_2$ et on doit déterminer  composants : $R_1$, $R_2$ et $C$. Il y a donc un degré de liberté qu'on utilise pour choisir la capacité $C$. Ici, on prend $C=100nF$ pour commencer.

    Note : quand on en a le choix, on choisit toujours la capacité car le nombre de valeurs disponibles pour les capacités est restreint aux séries E6 voire E12 alors que les résistances existent dans des séries allant jusqu'à E192 (soit 192 valeurs différentes étalées sur 1 décade, par exemple de $1k\Omega$ à $10k\Omega$). Ainsi, quand on calcule les résistances, on sait qu'on pourra leur trouver une valeur approchante dans une série normalisée.

    3.3.1. En utilisant les expressions de $\omega_1$ et $\omega_2$ en fonction de $R_1$, $R_2$ et $C$ déterminées en début d'exercice, exprimer :

    3.3.1.1. $R_1$ en fonction de $C$ et $\omega_2$ :

  • Editer/Valider vos calculs
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  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
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    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(R_1=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    d'où la valeur numérique :

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Saisissez la valeur numérique de votre calcul :

    \(R_1=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    3.3.1.2. Idem pour $R_2$ :

  • Editer/Valider vos calculs
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  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(R_2=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Saisissez la valeur numérique de votre calcul :

    \(R_2=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

     

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