Démonstration du théorème de Millman

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Cet exercice propose de démontrer le théorème de Millman en se limitant à 3 branches (pour rester compatible avec le système d'auto-évaluation qui ne permet pas une validation des équations avec une étude à n branches).

La figure servant de base à cette démonstration est la suivante :

Millman

Précision importante : le circuit est complet. Cela signifie qu'il n'y a rien d'autre de connecter sur les bornes A et B.

1. Valeur du courant I

  • Valider vos choix
  • Tout effacer
  • 0 ptsPoint(s) obtenu(s)
    • Bonne réponse : 1 pt(s). Mauvaise réponse : -1 pt(s). Pas de réponse : 0 pt

    2. Utilisation de la loi des branches

    2.1. Equations de la branche de gauche

    2.1.1. Donner l'expression de la tension $U_{AB}$ en fonction de $V_1$, $R_1$ et $I_1$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(U_{AB}=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    2.1.2. En déduire l'expression du courant $I_1$ en fonction de $U_{AB}$, $V_1$ et $R_1$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I_1=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    2.2. En procédant de la même façon avec la branche centrale, donner l'expression du courant $I_2$ en fonction de $U_{AB}$, $V_2$ et $R_2$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I_2=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    2.3. Reprendre identiquement avec la branche de droite, donner l'expression du courant $I_3$ en fonction de $U_{AB}$, $V_3$ et $R_3$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I_3=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    3. Vers Millman ...

    3.1. Ecrire la loi des noeuds pour le courant $I$ avec les courants de branche $I_1$, $I_2$ et $I_3$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    3.2. Réécrire cette expression en remplaçant les différents courants par leurs expressions établies lors de l'étude de chacune des branches

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    3.3. Pour finir, en déduire l'expression de $U_{AB}$ en fonction des $R_i$ et des $V_i$

    Conseil : passer tous les termes en $V_i$ à droite de l'égalité et factoriser par $U_{AB}$ à gauche de l'égalité.

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(U_{AB}=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    Correction

    La loi des noeuds nous donne : $$I=I_1+I_2+I_3$$

    Or $I=0$ donc en remplaçant les courants par leurs expressions établies précédemment, on a :

    $$\frac{U_{AB}-V_1}{R_1}+\frac{U_{AB}-V_2}{R_2}+\frac{U_{AB}-V_3}{R_3}=0$$

    $$\Leftrightarrow \frac{U_{AB}}{R_1}+\frac{U_{AB}}{R_2}+\frac{U_{AB}}{R_3}=\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}+\frac{V_3}{R_3}$$

    En factorisant par $U_{AB}$ à gauche de l'égalité, il vient :

    $$\Leftrightarrow U_{AB} \left ( \frac1{R_1} + \frac1{R_2} + \frac1{R_3} \right )=\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}+\frac{V_3}{R_3}$$

    et finalement : 

    $$\Leftrightarrow \boxed{U_{AB} =\frac{\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}+\frac{V_3}{R_3}}{\frac1{R_1} + \frac1{R_2} + \frac1{R_3}}}$$

    ce qui démontre le théorème de Millman avec 3 branches.

    Il est aisé de passer à N branches ...

    Conclusion : lorsque seules des relations aux tensions sont recherchées, utiliser Millman revient à effectuer la loi des branches et la loi des noeuds en une seule opération. Dans de nombreux cas de figure, comme c'est le cas pour l'étude de circuits à bases d'amplificateurs opérationnels par exemple, les calculs en sont grandement simplifiés.

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