Produit Gain/Bande d'un amplficateur opérationnel (AOP réel)

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Cet exercice propose un rappel de cours sur l'incidence du modèle réel de l'amplificateur opérationnel en matière de bande passante. L'étude porte sur un suiveur dont la fonction de transfert en boucle ouverte est modélisée en première approximation par un premier ordre.

Rappel du schéma du montage suiveur :

suiveur

\begin{equation} V_s=\frac{A_0}{1+\tau p}.(V^+-V^-)=\frac{A_0}{1+\tau p}.\epsilon \label{sui} \end{equation}

Pour les valeurs numériques, on prendra \(\tau=0.1s\) et \(A_0=10^5\,V/V\).

1. Déterminer la fonction de transfert du suiveur avec le modèle de l'amplificateur opérationnel réel au premier ordre

Dans les calculs qui suivent, penser à simplifier \(1/A_0\) devant \(1\) en considérant donc que \(\frac{1}{A_0} \ll 1\)

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    \(H(p)=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    Correction

    \begin{equation} \Leftrightarrow \epsilon=\frac{1+\tau p}{A_0}.V_s \end{equation}

    Dans le cas du suiveur : \(V^-=V_s\) et \(V^+=V_e\), d'où :

    \begin{equation} \Leftrightarrow \epsilon=V^+-V^-=V_e-V_s=\frac{1+\tau p}{A_0}.V_s \\ \Leftrightarrow V_e=V_s.\left [ 1 + \frac 1{A_0} + \frac{\tau}{A_0} p \right ] \label{sui2} \end{equation}

    Or \(A_0 \gg 1\) :

    \begin{equation} \require{cancel} \eqref{sui2} \Leftrightarrow \frac{V_s}{V_e}=\frac{1}{1 + \cancel{\frac 1{A_0}} + \frac{\tau}{A_0} p } \end{equation}

    Finalement :

    \begin{equation} \boxed{ \frac{V_s}{V_e}=\frac{1}{1 + \frac{\tau}{A_0} p } } \label{sui3}\end{equation}

    Note : on reconnait la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre que l'on peut écrire plus généralement sous la forme :

    \begin{equation} \frac{V_s}{V_e}=\frac{1}{1 + \frac{p}{\omega_0} } \label{sui4} \end{equation}

    où \(\omega_0=A_0/\tau=2\pi f_0 \) et \(f_0\) désigne la fréquence de coupure à \(-3dB\) du filtre passe-bas.

    2. Fréquence de coupure induite par le modèle de l'amplificateur opérationnel limité au premier ordre

    On note \(\omega_0\) la pulsation de coupure à \(-3dB\) du suiveur réel et \(f_0\) la fréquence de coupure associée.

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    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(f_0=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    soit numériquement :

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    \(A.N : f_0=\)

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    Correction

    D'après ce qui précède :

    \begin{equation} \boxed{ f_0=\frac{A_0}{2\pi\tau} } \label{sui5} \end{equation}

    A.N : \(\boxed{ f_0=159kHz}\)

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